Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật có cùng chu vi hình vuông có diện tích lớn nhất

Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x, y \(\left ( x, y > 0 \right )\). Ta có:\(\left ( x – y \right )^2 \geq 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 \geq 2xy \Leftrightarrow \left ( x + y \right )^2 \geq 4xy.\)

a) Chu vi hình chữ nhật không đổi nên …

Giải thích các bước giải:

Gọi hai cạnh hình chữ nhật là $x,y, (x,y>0)$

$\to$Chu vi hình chữ nhật là $2(x+y)=2p\to x+y=p$

$\to$Diện tích hình chữ nhật là: 
$S=xy\le\dfrac14(x+y)^2=\dfrac14\cdot p^2$

Dấu = xảy ra khi $x=y$

$\to$Hình chữ nhật có hai cạnh bằng nhau là hình vuông

$\to$Trong số hình chữ nhật có cùng chu vi bằng $2p$ thì hình vuông có diện tích lớn nhất

 ta có bất đẳng thức Cô-si:

a+b2≥ab

theo đề ra ta có ab không đổi

⇒a+b2không đổi

để a+b2nhỏ nhất thì ab nhỏ nhất

mà ab nhỏ nhất khi và chỉ khia=b

⇒trong các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất

Áp dụng vào bài toán:

a) Trong các tứ giác có cùng chu vi P không đổi thì hình vuông có diện tính lớn nhất là P216

b) Trong các tứ giác có diện tích S không đổi thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất là 4S

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Nội dung bài viết

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm M thuộc cạnh BC, gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng khi M chuyển động trên cạnh BC thì:

Xem thêm  Cài đặt màn hình chờ Samsung

1. Chu vi tứ giác MEAF không đổi

2. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với EF luôn luôn đi qua một điểm K cố định.

3. Tam giác KEF có diện tích nhỏ nhất khi M là trung điểm của BC.

Xem đáp án » 18/01/2021 3,048

Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M và N.

1. Chứng minh CM.DN=a2

2. Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh MKN^=90°.

Xem đáp án » 18/01/2021 1,848

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, M là một điểm bất kì nằm trên cạnh BC. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M lên AB, AC. Tìm vị trí của M để EF có độ dài nhỏ nhất.

Xem đáp án » 17/01/2021 1,426

Cho tam giác ABC. Xác định vị trí các điểm D, E trên các cạnh AB, AC sao cho BD + CE = BC và DE có độ dài nhỏ nhất.

Xem đáp án » 18/01/2021 1,361

Cho tam giác ABC. Tìm điểm M thuộc miền trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác sao cho tổng các khoảng cách từ M đến ba cạnh của tam giác có giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án » 18/01/2021 1,260

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a. Một đường thẳng d bất kì đi qua A và không cắt cạnh BC. Gọi I và K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của B và C lên đường thẳng d, gọi H là trung điểm BC. Tính diện tích lớn nhất của tam giác HIK.

Xem thêm  Đạo đức lớp 5 trang 25

Xem đáp án » 17/01/2021 1,114

Cho hình chữ nhật ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E, F , G, H sao cho AE = AH = CF = CG. Xác định vị trí các điểm E, F, G, H để tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất, nếu:

1. AB = 40 cm, BC = 20 cm.

2. AB = a, BC = b (b < a < 3a)

Xem đáp án » 17/01/2021 1,070

Dựa vào bất đẳng thức cô si để chứng minh nhé.
Gọi các cạnh của HCN lần lượt là : a,b
Ta có: [tex]S=ab\leq (\frac{a+b}{2})^2[/tex]

Dấu”=” xảy ra khi và chỉ khi a=b. Tức là 2 cạnh bằng nhau nên dĩ nhiên đó là hình vuông rồi

Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì

Suy luận nào sau đây đúng?

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) dương. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Cho \(a > b > 0.\) Mệnh đề nào dưới đây sai?

Vẽ hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 3cm.

a) Hãy vẽ một hình chữ nhật có diện tích nhỏ hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình như vậy?

b) Hãy vẽ hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình vuông như vậy? So sánh diện tích hình chữ nhật với diện tích hình vuông có cùng chu vi vừa vẽ. Tại sao trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất?

Xem thêm  Top 20 cửa hàng babimart Huyện Dương Minh Châu Tây Ninh 2022

Thuộc website Harveymomstudy.com

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.