VĐ2: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
I. Tóm tắt lý thuyết
♦Phương pháp 1:
Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta có thể tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng . Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung đó.
II. PP GIẢI BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chóp SABCD.Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang có AB//CD và AB > CD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
Bài 3: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (P) chưa tam giác BCD. Lấy E, F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho EF cắt BC tại I. Tìm giao tuyến của 2 mp(DBC) và (DEF)
Bài 4. (B6 – SGK) Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD)
Bài 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC.
a. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và(KAD)
b. Gọi M, N là điểm trên đoạn AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mp (IBC) và (DMN)
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Lấy O là một điểm thuộc miền trong của tam giác BCD và M là một điểm trên đoạn AO.
a. Tìm giao tuyến của mp(MCD) với các mp(ABC) và (ABD)
b. Gọi I, K là hai điểm lần lượt lấy trên BC và BD. Tìm giao tuyến của mp(IKM) với các mp(ACD), (ABC) và (ABD).
Hướng dẫn
a. Gọi E = BOÇCD
Nối EM cắt AB tại F
Þ Hai mp (MCD) và (ABC) có hai điểm chung là C và F.
Do đó: CF = mp(MCD)Çmp(ABC)
Hai mp(MCD) và (ABD) có hai điểm chung là D và F
Do đó: DF = mp(MCD)Çmp(ABD).
b. Gọi I’ = IOÇCD
K’ = KOÇCD
Trong mp(AIO) gọi : H = IMÇAI’
Trong mp (AKO) gọi G = KMÇAK’
Do đó: GH = mp(IKM)Çmp(ACD)
Gọi P = GHÇAC; Q = GHÇAD
Do đó: IP = mp(IKM)Çmp(ABC)
KQ = mp(IKM)Çmp(ABD)
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, CD, SO. Tìm giao tuyến của mp(MNP) với các mp(SAB), (SAD), (SBC) và (SCD).
Hướng dẫn
Gọi : I = MN cắt AB
G = MN cắt AD.
E = MN ÇAC
K = EPÇSA
IK = mp(MNP)Çmp(SAB)
Tương tự: GK = mp(MNP)Çmp(SAD)
H = IK cắt SB
MH = mp(MNP) Çmp(SBC)
Tương tự: KG cắt SD tại L
Do đó: LN = mp(MNP) Çmp(SCD)
Ta được thiết diện của hình chóp cắt mp(MNP) là hình ngũ giác MNLKH.
Bài 1 đại cương về đường thẳng và mặt phẳng Sách bài tập Hình học 11. Giải bài 2.1, 2.2, 2.3 trang 66 . Câu 2.1: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD…; Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD) ?
Bài 2.1: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong của tam giác ACD . Gọi I và J tương ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ không song song với CD
a) Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và (ACD).
b) Lấy N là điểm thuộc miền trong của tam giác ABD sao cho JN cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC)
(h.2.20)
a) Nhận xét:
Do giả thiết cho IJ không song song với CDvà chúng cùng nằm trong mặt phẳng (BCD) nên khi kéo dài chúng gặp nhau tại một điểm.
Gọi \(K = IJ \cap CD\).
Ta có : M là điểm chung thứ nhất của (ACD) và (IJM);
\(\left\{ \matrix{
K \in IJ \hfill \cr
IJ \subset \left( {MIJ} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left( {MIJ} \right)\) và \(\left\{ \matrix{K \in CD \hfill \cr C{\rm{D}} \subset \left( {AC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left( {AC{\rm{D}}} \right)\)
Vậy \(\left( {MIJ} \right) \cap \left( {ACD} \right) = MK\)
b) Với \(L = JN \cap AB\) ta có:
\(\left\{ \matrix{
L \in JN \hfill \cr
JN \subset \left( {MNJ} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow L \in \left( {MNJ} \right)\)
\(\left\{ \matrix{
L \in AB \hfill \cr
AB \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow L \in \left( {ABC} \right)\)
Như vậy L là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC)
Gọi \(P = JL \cap A{\rm{D}},Q = PM \cap AC\)
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
Q \in PM \hfill \cr
PM \subset \left( {MNP} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow Q \in \left( {MNJ} \right)\)
Và \(\left\{ \matrix{Q \in AC \hfill \cr AC \subset \left( {ABC} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow Q \in \left( {ABC} \right)\)
Nên Q là điểm chung thứ hai của (MNJ) và (ABC)
Vậy \(LQ = \left( {ABC} \right) \cap \left( {MNJ} \right)\).
Bài 2.2: Cho hình chóp S.ABCDcó đáy là tứ giác ABCD có hai cạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trong của tam giác SCD.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
a) (SBM) và (SCD);
b) (ABM) và (SCD);
c) (ABM) và (SAC).
(h.2.21)
a) Ta có ngay S, M là hai điểm chung của (SBM) và (SCD) nên \(\left( {SBM} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = SM\).
b) M là điểm chung thứ nhất của (AMB) và (SCD)
Gọi \(I = AB \cap C{\rm{D}}\)
Ta có: \(I \in AB \Rightarrow I \in \left( {ABM} \right)\)
Mặt khác \(I \in C{\rm{D}} \Rightarrow I \in \left( {SC{\rm{D}}} \right)\)
Nên \(\left( {AMB} \right) \cap \left( {SC{\rm{D}}} \right) = IM\).
c) Gọi \(J = IM \cap SC\).
Tacó: \(J \in SC \Rightarrow J \in \left( {SAC} \right)\) và \(J \in IM \Rightarrow J \in \left( {ABM} \right)\).
Hiển nhiên \(A \in \left( {SAC} \right)\) và \(A \in \left( {ABM} \right)\)
Vậy \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABM} \right) = AJ\)
Bài 2.3: Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm I và lấy các điểm J, K lần lượt là điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và ACD. Gọi L là giao điểm của JK với mặt phẳng (ABC)
a) Hãy xác định điểm L.
b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt của tứ diện ABCD.
(h.2.22)
a) Gọi \(N = DK \cap AC;M = DJ \cap BC\).
Ta có \(\left( {DJK} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN \Rightarrow MN \subset \left( {ABC} \right)\).
Vì \(L = \left( {ABC} \right) \cap JK\) nên dễ thấy \(L = JK \cap MN\).
b) Ta có I là một điểm chung của (ABC) và (IJK).
Mặt khác vì \(L = MN \cap JK\) mà \(MN \subset \left( {ABC} \right)\) và \(JK \subset \left( {IJK} \right)\) nên L là điểm chung thứ hai của (ABC) và (IJK), suy ra \(\left( {IJK} \right) \cap \left( {ABC} \right) = IL\).
Gọi \(E = IL \cap AC;F = EK \cap C{\rm{D}}\). Lí luận tương tự ta có \(EF = \left( {IJK} \right) \cap \left( {ACD} \right)\).
Nối FJ cắt BD tại P; P là một giao điểm (IJK) và (BCD).
Ta có \(PF = \left( {IJK} \right) \cap \left( {BCD} \right)\)
Và \(IP = \left( {AB{\rm{D}}} \right) \cap \left( {IJK} \right)\)
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng. Phương pháp: Cách 1. Tìm hai điểm chung phân biệt (đã đề cập ở bài 1). Cách 2. (Dùng hệ quả định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng). Các ví dụ. Ví dụ 1. Cho tứ diện SABC. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và AB, G là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a. (SAC) và (EFC). Ta có: EF là đường trung bình của tam giác SAB. Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB, P là một điểm trên cạnh BC. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: a. (SBC) và (SAD). b. (SAB) và (SCD). C. (MNP) và (ABCD).
Ví dụ 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi G và J lần lượt là trọng tâm tam giác BCD và tam giác ACD. a. Chứng minh GJ || AB. b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (GJD). Gọi K là trung điểm của CD. Theo tính chất trọng tâm tam giác. Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O và I là một điểm trên đoạn SO. a. Tìm giao điểm E và F của mặt phẳng (ICD) lần lượt với các đường SA và SB. Chứng minh EF // AB. b. Gọi K là giao điểm của DE và CF. Chứng minh SK // BC.
Thuộc website Harveymomstudy.com