Các bài tập toán về phép tịnh tiến

A.LÍ THUYẾT CƠ BẢN

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm  thành điểm  sao cho  được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ .

Các bài tập toán về phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến theo vectơ  được kí hiệu là . 

Vậy thì .

Nhận xét: .

2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng  cho điểm  và .

Gọi 

Hệ  được gọi là biểu thức tọa độ của .

3. Tính chất của phép tịnh tiến

         – Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

         – Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho.

         – Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.

         – Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

         – Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

B. BÀI TẬP

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1. Cho tam giác , dựng ảnh của tam giác  qua phép tịnh tiến theo vec tơ . 

Lời giải:

Các bài tập toán về phép tịnh tiến

Ta có .

Để tìm ảnh của điểm  ta dựng hình bình hành . Do  nên , gọi  là điểm đối xứng với  qua , khi đó 

Suy ra . Vậy ảnh của tam giác  là tam giác .

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ  , cho . Hãy tìm ảnh của các điểm  qua phép tịnh tiến theo vectơ .

            Lời giải:

Xem thêm:  Bài tập lịch sử lớp 4 trang 21

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến  .

Gọi .

Tương tự ta có ảnh của  là điểm .

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ  , cho và đường thẳng  có phương trình . Viết phương trình đường thẳng  là ảnh của  qua phép tịnh tiến.

A. .  B. .
C.   D. .

             Lời giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Lấy điểm  tùy ý thuộc , ta có 

Gọi 

Thay vào (*) ta được phương trình .

Vậy ảnh của  là đường thẳng .

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Do  nên  song song hoặc trùng với , vì vậy phương trình đường thẳng  có dạng .(**)

Lấy điểm . Khi đó .

Do 

Vậy ảnh của  là đường thẳng .

Cách 3. Để viết phương trình  ta lấy hai điểm phân biệt  thuộc , tìm tọa độ các ảnh  tương ứng của chúng qua . Khi đó  đi qua hai điểm  và .

Cụ thể: Lấy  thuộc , khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là . Do  đi qua hai điểm  nên có phương trình .

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ  , cho đường tròn  có phương trình . Tìm ảnh của  qua phép tịnh tiến theo vectơ .

A. .  B. .
C. .   D. .

              Lời giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ.

Lấy điểm  tùy ý thuộc đường tròn , ta có 

Gọi 

Thay vào phương trình (*) ta được .

Vậy ảnh của  là đường tròn.

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Dễ thấy  có tâm  và bán kính . Gọi  và  là tâm và bán kính của .

Ta có  và  nên phương trình của đường tròn  là 

Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH.

Phương pháp:

Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của . Để tìm tọa độ của  ta có thể giả sử , sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập hệ phương trình hai ẩn  và giải hệ tìm .

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ ,cho đường thẳng . Tìm phép tịnh tiến theo vec tơ  có giá song song với  biến  thành  đi qua điểm .

Xem thêm:  Mydocalm là thuốc gì
    A. .  B. .
    C. .   D. .

   Lời giải:

 có giá song song với  nên 

Lấy . Gọi  thay vào 

Hay , mà  đi qua .

Vậy .

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ  , cho đường hai thẳng  và . Tìm tọa độ  có phương vuông góc với  để .

    A. .  B.  .
    C.  .   D. .

    Lời giải:

Đặt , lấy điểm tùy ý thuộc , ta có 

Gọi sử .Ta có , thay vào (*) ta được phương trình .

Từ giả thiết suy ra .

Vec tơ pháp tuyến của đường thẳng  là suy ra VTCP .

Do .

Ta có hệ phương trình .Vậy .

Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH.

Phương pháp:

Để dựng một điểm  ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem  là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến.

Lưu ý: Ta thường dùng kết quả: Nếu  và thì trong đó  và kết hợp với  thuộc hình 

(trong giả thiết) suy ra .

Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm , bán kính  và hai điểm phân biệt  nằm ngoài . Hãy dựng dây cung  của đường tròn  sao cho  là hình bình hành.

Lời giải:

Các bài tập toán về phép tịnh tiến

Phân tích: Giả sử đã dựng được dây cung  thỏa mãn yêu cầu bài toán

Do  là hình bình hành nên 
.

Nhưng . Vậy  vừa thuộc  và  nên  chính là giao điểm của  và .

Cách dựng:

         – Dựng đường tròn  là ảnh của đường tròn  qua .

         – Dựng giao điểm  của  và .

         – Dựng đường thẳng qua  và song song với  cắt  tại .

Dây cung  là dây cung thỏa yêu cầu bài toán.

Chứng minh: Từ cách dựng ta có  là hình bình hành.

Biện luận:

          – Nếu  thì bài toán vô nghiệm .

          – Nếu  thì có một nghiệm .

          – Nếu  thì có hai nghiệm.

 Ví dụ 2. Cho tam giác . Dựng đường thẳng  song song với , cắt hai cạnh  lần lượt tại  sao cho .

Xem thêm:  Em hãy so sánh sự giống và khác nhau thủ tục mở tệp ra để đọc và mở tệp ra để ghi dữ liệu

Lời giải:

Các bài tập toán về phép tịnh tiến

 Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng  thỏa mãn bài toán. Từ  dựng đường thẳng song song với  cắt  tại , khi đó  là hình bình hành nên . Lại có  suy ra , từ đó ta có  là phân giác trong của góc .

Cách dựng:

         – Dựng phân giác trong  của góc .

         – Dựng đường thẳng đi qua  song song với  cắt  tại .

         – Dựng ảnh .

Đường thẳng  chính là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán.

Chứng minh:
Từ cách dựng ta có  là hình bình hành suy ra  và , ta có  cân tại .

Vậy .

Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình

 Ví dụ 3. Cho hai đường tròn  và  cắt nhau tại . Dựng đường thẳng  đi qua  cắt các đường tròn tại các điểm thứ hai  sao cho  cho trước.

Lời giải:

Giả sử đã dựng được đường thẳng  đi qua  và cắt các đường tròn  tương ứng tại các điểm  sao cho .

Kẻ  và .

Xét .

Do tam giác  vuông tại  nên .

Các bài tập toán về phép tịnh tiến

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM.

Phương pháp:

Nếu  và đểm  di động trên hình  thì điểm  thuộc hình , trong đólà ảnh của hình  qua .

Ví dụ 1. Cho hai điểm phân biệt  cố định trên đường tròn tâm . Điểm  di động trên . Chứng minh khi  di động trên  thì trực tâm của tam giác  di động trên một đường tròn.

Lời giải:

Gọi  là trực tâm của tam giác  và  là trung điểm của . Tia  cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác  tại . Vì , nên . Tương tự , do đó  là hình bình hành.Suy ra  không đổi.

, vì vậy khi  di động trên dường tròn  thì  di động trên đường tròn.

Ví dụ 2. Cho tam giác  có đỉnh  cố định,  không đổi và không đổi. Tìm tập hợp các điểm .

Lời giải:

Gọi  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , khi đó theo định lí sin ta có  không đổi

( do  không đổi).

Vậy , nên  di động trên đường tròn tâm  bán kính . Ta có  không đổi và  không đổi suy ra  không đổi. Mặt khác  có phương không đổi nên  cũng có phương không đổi.

Đặt  không đổi , thì .

Vậy tập hợp điểm  là đường tròn  ảnh của  qua , và tập hợp điểm  là đường tròn  ảnh của  qua .

Video liên quan

Thuộc website harveymomstudy.com

Related Posts