Bài tập trắc nghiệm tỉ số the tích

Bài tập 1: Gọi V là thể tích của hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’,{{V}_{1}}$ là thể tích tứ diện ${A}’ABD$. Hệ thức nào sau đây đúng?

A. $V=6{{V}_{1}}$ B. $V=4{{V}_{1}}$ C. $V=3{{V}_{1}}$ D. $V=2{{V}_{1}}$

Lời giải chi tiết

Ta có $V={{S}_{ABCD}}.A{A}’$ và ${{V}_{1}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta ABD}}.A{A}’$

Mà ${{S}_{\Delta ABD}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}\xrightarrow{{}}\frac{V}{{{V}_{1}}}=6$

Suy ra $V=6{{V}_{1}}$. Chọn A.

Bài tập 2: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$. Gọi D là trung điểm của AC. Tính tỉ số thể tích khối tứ diện ${B}’BAD$ và thể tích khối lăng trụ đã cho.

A. $\frac{1}{4}$ B. $\frac{1}{6}$ C. $\frac{1}{12}$ D. $\frac{1}{3}$

Lời giải chi tiết

Ta có ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}={{S}_{\Delta ABC}}.B{B}’$ và ${{V}_{{B}’BAD}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta BAD}}.B{B}’.$

Mà ${{S}_{\Delta BAD}}=\frac{1}{2}{{S}_{\Delta ABC}}\xrightarrow[{}]{}k=\frac{{{V}_{{B}’BAD}}}{{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}}=\frac{1}{6}.$ Chọn B.

Bài tập 3: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$. Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng $\left( {A}’MN \right)$ chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích (phần bé chia phần lớn) của chúng.

A. $\frac{2}{3}$ B. $\frac{4}{23}$ C. $\frac{4}{9}$ D. $\frac{4}{27}$

Lời giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Gọi E là trung điểm của BC $\Rightarrow \frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$

Qua G kẻ đường thẳng $d//BC,$ cắt AB, AC lần lượt tại M, N. 

$\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$ (định lí Talet)

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}   AM=\frac{2}{3}AB  \\   AN=\frac{2}{3}AC  \\\end{matrix}\Rightarrow {{S}_{\Delta AMN}}=\frac{4}{9}{{S}_{\Delta ABC}} \right.$                            (1).

Ta có ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}={{S}_{\Delta ABC}}.AA’$ và ${{V}_{{A}’.AMN}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta AMN}}.AA’$               (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow {{V}_{{A}’.AMN}}=\frac{4}{27}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}\Rightarrow {{V}_{BMNC,{A}'{B}'{C}’}}=\frac{23}{27}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}$

Vậy tỉ số cần tìm là $\frac{4}{27}:\frac{23}{27}=\frac{4}{23}.$ Chọn B.

Bài tập 4: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, $AC=2\sqrt{2}.$ Biết $A{C}’$ tạo với mặt phẳng $\left( ABC \right)$ một góc $60{}^\circ $ và $A{C}’=4$. Tính thể tích của khối đa diện $ABC{C}'{B}’$.

A. $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C. $2\sqrt{3}$ D. $\frac{16\sqrt{3}}{3}$

Lời giải chi tiết

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}’ \right)$.

Suy ra $H{C}’$ là hình chiếu của $A{C}’$ trên mặt phẳng $\left( {A}'{B}'{C}’ \right)$.

Do đó $\widehat{\left( A{C}’;\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( A{C}’;H{C}’ \right)}=\widehat{AH{C}’}=60{}^\circ $

Tam giác $AH{C}’$, có $AH=A{C}’\sin \widehat{A{C}’H}=2\sqrt{3}$

Xem thêm  bagel twist là gì - Nghĩa của từ bagel twist

Diện tích tam giác ${{S}_{\Delta ABC}}=\frac{A{{C}^{2}}}{2}=4$

Suy ra ${{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}={{S}_{\Delta ABC}}.AH=8\sqrt{3}$

Ta có ${{V}_{A.{A}'{B}'{C}’}}=\frac{1}{3}{{S}_{\Delta {A}'{B}'{C}’}}.AH=\frac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}.$

Suy ra ${{V}_{ABC{C}'{B}’}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}-{{V}_{A.{A}'{B}'{C}’}}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$. Chọn D.

Bài tập 5: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có thể tích V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh $AC,A{B}’,A{D}’$ sao cho $AM=2AC,AN=3A{B}’,AP=4A{D}’.$ Tính thể tích của khối tứ diện $AMNP$ theo V.

A. ${{V}_{AMNP}}=8V$ B. ${{V}_{AMNP}}=4V$ C. ${{V}_{AMNP}}=6V$              D. ${{V}_{AMNP}}=12V$

Lời giải chi tiết

Ta có $V={{V}_{A{B}'{D}'{C}’}}+\left( {{V}_{A{A}'{B}'{D}’}}+{{V}_{C{C}'{B}'{D}’}}+{{V}_{{D}’DAC}}+{{V}_{{B}’BAC}} \right).$

Mà ${{V}_{A{A}'{B}'{D}’}}={{V}_{C{C}'{B}'{D}’}}={{V}_{{D}’DAC}}={{V}_{{B}’BAC}}=\frac{V}{6}.$

Suy ra ${{V}_{A{B}'{D}'{C}’}}=\frac{V}{3}.$

Từ gia thiết, ta có $\frac{A{B}’}{AN}=\frac{1}{3};\frac{AC}{AM}=\frac{1}{2};\frac{A{D}’}{AP}=\frac{1}{4}.$

Ta có $\frac{{{V}_{A.{B}'{D}'{C}’}}}{{{V}_{A.NPM}}}=\frac{A{B}’}{AN}.\frac{A{D}’}{AP}.\frac{AC}{AM}=\frac{1}{24}.$

$\xrightarrow{{}}{{V}_{A.NPM}}=24{{V}_{A.{B}'{D}'{C}’}}=24.\frac{V}{3}=8V.$ Chọn A.

Nhận xét: Công thức giải nhanh: Thể tích của khối tứ diện (4 đỉnh nằm trên hai đường chéo của hai mặt đối diện) có thể tích bằng $\frac{1}{3}$của khối lăng trụ tam giác.

Bài tập 6: Cho lăng trụ tam giác đều $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có góc giữa hai mặt phẳng $\left( {A}’BC \right)$ và $\left( ABC \right)$ bằng $30{}^\circ $.  Điểm M nằm trên cạnh $A{A}’$. Biết cạnh $AB=a\sqrt{3},$ thể tích khối đa diện $MBC{C}'{B}’$ bằng

A. $\frac{3{{a}^{3}}}{4}.$ B. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$ C. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{2}}{4}.$              D. $\frac{2{{a}^{3}}}{3}.$

Lời giải chi tiết

Gọi V là thể tích khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$.

Do $A{A}’//B{B}’\Rightarrow {{V}_{M.BC{B}'{C}’}}={{V}_{{A}’.BC{C}'{B}’}}=V-{{V}_{{A}’.ABC}}=V-\frac{V}{3}=\frac{2V}{3}$

Dựng $AH\bot BC$ mà $A{A}’\bot BC\Rightarrow BC\bot \left( {A}’HA \right)$

Do đó $\widehat{\left( {A}’BC \right);\left( ABC \right)}=\widehat{{A}’HA}=30{}^\circ \Rightarrow AH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{2}.$

Khi đó $A{A}’=AH.\tan 30{}^\circ =\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V=A{A}’.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{9{{a}^{3}}}{8}.$

Vậy thể tích cần tính là ${{V}_{M.BC{C}'{B}’}}=2\frac{V}{3}=\frac{3{{a}^{3}}}{4}.$ Chọn A.

Bài tập 7: Cho hình lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có thể tích bằng V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh $A{A}’,B{B}’,C{C}’$ sao cho $\frac{AM}{A{A}’}=\frac{1}{2};\frac{BN}{B{B}’}=\frac{CP}{C{C}’}=\frac{2}{3}.$ Tính thể tích của khối đa diện $ABC.MNP$

A. ${V}’=\frac{2}{3}V$ B. ${V}’=\frac{9}{16}V$ C. ${V}’=\frac{20}{27}V$ D. ${V}’=\frac{11}{18}V$

Lời giải chi tiết

Công thức giải nhanh ${{V}_{ABC.MNP}}=\left( \frac{m+n+p}{3} \right)V$ với $m=\frac{AM}{A{A}’},n=\frac{BN}{B{B}’},p=\frac{CP}{C{C}’}.$

Áp dụng với: $m=\frac{1}{2};n=\frac{2}{3};p=\frac{2}{3},$ ta được ${{V}_{ABC.MNP}}=\frac{11}{18}V$. Chọn D.

Bài tập 8: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ cạnh 2a, gọi M là trung điểm của $B{B}’$ và P thuộc cạnh $D{D}’$sao cho $DP=\frac{1}{4}D{D}’$. Mặt phẳng $\left( AMP \right)$ cắt $C{C}’$ tại N. Thể tích khối đa diện AMNPBCD bằng

A. $V=2{{a}^{3}}$ B. $V=3{{a}^{3}}$ C. $V=\frac{11{{a}^{3}}}{3}$ D. $V=\frac{9{{a}^{3}}}{4}$

Xem thêm  Auclanityl 500 125mg là thuốc gì

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức tính nhanh, ta được

$\frac{{{V}_{AMNPBCD}}}{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}}=\frac{1}{2}\left( \frac{BM}{B{B}’}+\frac{DP}{D{D}’} \right)=\frac{1}{2}.\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right)=\frac{3}{8}\xrightarrow{{}}{{V}_{AMNPBCD}}=\frac{3}{8}.{{\left( 2a \right)}^{3}}=3{{a}^{3}}$. Chọn B

Bài tập 9: Cho hình hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$. Gọi M là điểm thuộc $C{C}’$ thỏa mãn $C{C}’=4CM$. Mặt phẳng $\left( A{B}’M \right)$ chia khối hộp thành hai phần có thể tích là ${{V}_{1}}$ và ${{V}_{2}}$. Gọi ${{V}_{1}}$ là phần thể tích có chứa điểm B. Tính tỉ số $k=\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}$.

A. $k=\frac{7}{32}$ B. $k=\frac{7}{16}$ C. $k=\frac{7}{25}$ D. $k=\frac{25}{32}$.

Lời giải chi tiết

Trong mặt phẳng $\left( CD{D}'{C}’ \right),$kẻ $MN//{C}’D.$ Suy ra $CN=\frac{1}{4}CD$ và ${{V}_{1}}$ là khối đa diện $AB{B}’NCM.$

Ta chia khối hộp thành hai phần (như hình vẽ). Khi đó ${{V}_{AB{B}’.NCM}}={{V}_{AB{B}’CM}}+{{V}_{MACN}}.$

  • ${{V}_{AB{B}’CM}}=\frac{0+\frac{1}{4}+1}{3}.{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=\frac{5}{12}.\left( \frac{1}{2}V \right)$
  • ${{V}_{MACN}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{4}{{V}_{{C}’.ADC}}=\frac{1}{16}.\left( \frac{1}{3}{{V}_{ADC.{A}'{D}'{C}’}} \right)=\frac{1}{96}V.$

Vậy ${{V}_{1}}={{V}_{ABCM{B}’}}+{{V}_{MACN}}=\frac{7}{32}V\xrightarrow{{}}{{V}_{2}}=\frac{25}{32}\xrightarrow{{}}\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{7}{25}.$Chọn C

Nhận xét: Ta có ${{V}_{MACN}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{4}{{V}_{{C}’.ADC}}$ vì diện tích giảm 4 lần và chiều cao giảm 4 lần

Bài tập 10: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ cạnh a. Gọi M là trung điểm của ${A}'{B}’,$ N  là trung điểm của BC. Tính thể tích của khối tứ diện ADMN.

A. $V=\frac{{{a}^{3}}}{3}.$ B. $V=\frac{{{a}^{3}}}{12}.$ C. $V=\frac{{{a}^{3}}}{6}.$              D. $V=\frac{{{a}^{3}}}{2}.$

Lời giải chi tiết

Ta có ${{V}_{ADMN}}={{V}_{M.ADN}}=\frac{1}{3}.d\left( M;\left( ABCD \right) \right).{{S}_{\Delta AMD}}$

Lại có $d\left( M;\left( ABCD \right) \right)=d\left( {A}’;\left( ABCD \right) \right)=A{A}’$

Và ${{S}_{\Delta AMD}}={{S}_{ABCD}}-{{S}_{\Delta ABN}}-{{S}_{\Delta CDN}}={{S}_{ABCD}}-\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}$

Do đó ${{V}_{ADMN}}=\frac{1}{3}.A{A}’.\frac{1}{2}{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{6}A{A}’.{{S}_{ABCD}}=\frac{{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}}{6}=\frac{{{a}^{3}}}{6}.$

Chọn C.

Bài tập 11: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có $AB=a,AD=2a.$ Diện tích tam giác ${A}’DC$ bằng $\frac{{{a}^{2}}\sqrt{13}}{2}.$ Tính thể tích khối chóp ${A}’.BC{C}'{B}’$ theo a.

A. ${{a}^{3}}$ B. $2{{a}^{3}}$ C. $3{{a}^{3}}$ D. $6{{a}^{3}}$

Lời giải chi tiết

Ta có $\left\{ \begin{matrix}   CD\bot D{D}’  \\   CD\bot AD  \\\end{matrix}\Rightarrow CD\bot \left( AD{D}'{A}’ \right)\Rightarrow CD\bot {A}’D. \right.$

Suy ra ${{S}_{\Delta {A}’CD}}=\frac{1}{2}.{A}’D.CD=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{13}}{2}\xrightarrow{{}}{A}’D=a\sqrt{13}$

Do đó $A{A}’=\sqrt{{A}'{{D}^{2}}-A{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a\sqrt{13} \right)}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=3a.$

Thể tích của khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ là $V=A{A}’.AB.AD=6{{a}^{3}}$.

Lại có ${{V}_{{A}’.BC{C}'{B}’}}=\frac{1}{3}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}=\frac{1}{3}.6{{a}^{3}}=2{{a}^{3}}.$ Chọn B.

Bài tập 12: Cho khối hộp $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$. Gọi M thuộc cạnh AB sao cho $MB=2MA.$ Mặt phẳng $\left( M{B}'{D}’ \right)$ chia khối hộp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.

A. $\frac{5}{12}.$ B. $\frac{7}{17}.$ C. $\frac{13}{41}.$ D. $\frac{5}{17}.$

Xem thêm  Bài tập viết câu lệnh rẽ nhánh tính

Lời giải chi tiết

Lý thuyết bổ sung:

Cho hình chóp cụt $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có chiều cao h, ${{S}_{1}}$ là diện tích tam giác ABC, ${{S}_{2}}$ là diện tích tam giác ${A}'{B}'{C}’.$ Thể tích khối chóp cụt $ABC.{A}'{B}'{C}’$ là $$

Qua M kẻ đường thẳng $d//BD,$ cắt AD  tại N

Suy ra thiết diện cắt bởi mặt phẳng $\left( M{B}'{D}’ \right)$ là $MN{D}'{B}’$

Khi đó ${{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}={{V}_{AMN.{A}'{B}'{D}’}}+{{V}_{{B}'{C}'{D}’.MBCDN}}$

Đặt $A{A}’=h;{{S}_{ABCD}}=S\xrightarrow{{}}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}=S.h$

Áp dụng công thức tính thể tích chóp cụt, ta có

${{V}_{AMN.{A}'{B}'{D}’}}=\frac{1}{3}A{A}’.\left( {{S}_{\Delta AMN}}+{{S}_{\Delta {A}'{B}'{D}’}}+\sqrt{{{S}_{\Delta AMN}}.{{S}_{\Delta {A}'{B}'{D}’}}} \right)$

Mà $\frac{{{S}_{\Delta AMN}}}{{{S}_{\Delta ABD}}}=\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AD}=\frac{1}{9}\Rightarrow {{S}_{\Delta AMN}}=\frac{1}{9}{{S}_{\Delta ABD}}=\frac{S}{18}.$

Và ${{S}_{\Delta {A}'{B}'{D}’}}=\frac{S}{2}\xrightarrow{{}}{{V}_{AMN.{A}'{B}'{D}’}}=\frac{1}{3}h\left( \frac{S}{18}+\frac{S}{2}+\sqrt{\frac{S}{18}.\frac{S}{2}} \right)=\frac{13}{54}V$

Vậy tỉ số thể tích cần tính là $\frac{13}{54}:\left( 1-\frac{13}{54} \right)=\frac{13}{41}.$ Chọn C.

Bài tập 13: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$. Gọi I là trung điểm của $B{B}’,$ mặt phẳng $\left( DI{C}’ \right)$ chia khối lập phương thành 2 phần có tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn bằng

A. $\frac{3}{8}$ B. $\frac{2}{3}$ C. $\frac{7}{17}.$ D. $\frac{5}{12}$

Lời giải chi tiết

Tham khảo hình vẽ dưới đây:

Đặt $A{A}’=h;{{S}_{ABCD}}=S\xrightarrow{{}}{{V}_{ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’}}=S.h$

Nối $I{C}’$ cắt BC tại F; nối FD cắt AB tại M.

Suy ra $mp\left( DI{C}’ \right)$ chia khối lập phương thành hai khối $IBM.{C}’CD$ và $IMA{A}'{B}’.{C}’D{D}’$

Vì M là trung điểm của AB mà $BM//CD\Rightarrow \frac{FB}{FC}=\frac{1}{2}.$

Ta có $BI//C{C}’\Rightarrow \frac{IB}{C{C}’}=\frac{FB}{FC}=\frac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{\Delta IBM}}=\frac{1}{4}{{S}_{\Delta BA{B}’}}=\frac{1}{8}{{S}_{AB{B}'{A}’}}$

Áp dụng công thức tính thể tích chóp cụt, ta được

${{V}_{IBM.{C}’CD}}=\frac{1}{3}BC.\left( {{S}_{\Delta IBM}}+{{S}_{\Delta {C}’CD}}+\sqrt{{{S}_{\Delta IBM}}.{{S}_{\Delta {C}’CD}}} \right)=\frac{1}{3}h.\left( \frac{S}{8}+\frac{S}{2}+\sqrt{\frac{S}{8}.\frac{S}{2}} \right)=\frac{7}{24}.Sh$

Do đó, thể tích khối $IMA{A}'{B}’.{C}’D{D}’$ là ${{V}_{IMA{A}'{B}’.{C}’D{D}’}}=V-\frac{7}{24}V=\frac{17}{24}V.$

Vậy tỉ số cần tính là $\frac{7}{24}:\frac{17}{24}=\frac{7}{17}.$ Chọn C.

Bài tập 14: Cho khối lăng trụ $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $A{A}’$ và $B{B}’$. Đường thẳng CM cắt đường thẳng ${C}'{A}’$ tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng ${C}'{B}’$ tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi ${A}’MP{B}’NQ$ bằng:

A. 1 B. $\frac{1}{3}$ C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{2}{3}$

Lời giải chi tiết

Ta có: ${{V}_{C.ABNM}}=\frac{1}{2}{{V}_{C.AB{B}'{A}’}}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=\frac{1}{3}.$

Suy ra ${{V}_{CMN.{A}'{B}'{C}’}}={{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}-{{V}_{C.ABNM}}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$

Lại có ${{V}_{C.{C}’PQ}}={{V}_{CMN.{A}'{B}'{C}’}}+{{V}_{{A}’MP{B}’NQ}}$

$\Rightarrow {{V}_{{A}’MP{B}’NQ}}={{V}_{C.{C}’PQ}}-\frac{2}{3}.$ Mà ${{S}_{\Delta {C}’PQ}}=4{{S}_{{A}'{B}'{C}’}}$

$\Rightarrow {{V}_{C.{C}’PQ}}=4{{V}_{{C}’.{A}'{B}'{C}’}}=4.\frac{1}{3}{{V}_{ABC.{A}'{B}'{C}’}}=\frac{4}{3}.$

Vậy ${{V}_{{A}’MP{B}’NQ}}=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.$ Chọn D.

Thuộc website Harveymomstudy.com

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.