Bài tập hai đường thẳng vuông góc Toán 11

Xem thêm

Góc giữa hai vecto trong không gian:

    .

Tích vô hướng của hai vecto trong không gian:

Cho . Khi đó: .

Với  hoặc . Quy ước: .

.

 .

.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng

    Một vectơ  mà có phương song song hoặc trùng với  được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng .

Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng  và  là góc giữa hai đường thẳng ,  lần lượt song song với , . Kí hiệu 

Từ định nghĩa ta có sơ đồ: .

Nhận xét:

+ Giả sử  có vectơ chỉ phương tương ứng là  và .

Khi đó 

+ Nếu  hoặc  thì .

3. Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng  được gọi là vuông góc với nhau nếu . Kí hiệu là .

Nếu  và  lần lượt là các vecto chỉ phương của hai đường thẳng  và thì 

Nếu  và  vuông góc với một trong hai đường thẳng đó thì  vuông góc với đường thẳng còn lại.

B. Bài tập

Dạng 1. Ứng dụng của tích vô hướng

A. Phương pháp

Muốn tính độ dài của đoạn thẳng  hoặc tính khoảng cách giữa hai điểm  và  ta dựa vào công thức: .

Tính góc giữa hai vecto  và  ta dựa vào công thức: .

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Cho tứ diện đều  cạnh .

    a) Tính góc giữa hai véctơ .

    b) Gọi  là trung điểm của . Tính góc giữa hai véctơ .

Lời giải:

Bài tập hai đường thẳng vuông góc Toán 11

    a) Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ ta được:

        .

Xét 

Mà  .

 .

    b) Ta có 

Tứ diện  đều cạnh .  là trung tuyến của tam giác đều  nên 

Suy ra .

Ta có 

Do  đều nên 

Đồng thời 

Suy ra .

Thay vào  ta được  suy ra .

Vậy .

Ví dụ 1.2: Cho hình chóp  có , ,  đôi một vuông góc và . Gọi  là trung điểm của .

    a) Biểu diễn các véctơ  và  theo các véctơ , , .

    b) Tính .

Lời giải:

Bài tập hai đường thẳng vuông góc Toán 11

    a) Sử dụng quy tắc trung điểm và quy tắc trừ hai véctơ ta được:

     .

    b) 

    Mà , ,  đôi một vuông góc nên 

    Tam giác  và  vuông tại  nên theo định lý Pitago ta được 

    suy ra .

    Theo câu a ta có:

    .

    Thay vào  ta được  suy ra .

Dạng 2. Góc giữa hai đường thẳng

A. Phương pháp

Để tính góc giữa hai đường thẳng  trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách sau:

Cách 1: Tìm góc giữa hai đường thẳng  bằng cách chọn một điểm  thích hợp ( thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ  dựng các đường thẳng  lần lượt song song (có thể trùng nếu  nằm trên một trong hai đường thẳng) với .

Lưu ý: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí cosin trong tam giác .

Cách 2: Tìm hai vecto chỉ phương  của hai đường thẳng .

Khi đó góc giữa hai đường thẳng  xác định bởi .

Lưu ý: Để tính  ta chọn ba vecto  không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó biểu thị các vecto  qua các vecto  rồi thực hiện các tính toán.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Cho hình chóp  có đáy  là hình chữ nhật, các tam giác , ,  là các giác vuông tại . Biết , , . Tính góc giữa các đường thẳng sau:

    a)  và .    b)  và .    c)  và .

Lời giải:

Bài tập hai đường thẳng vuông góc Toán 11

a) Tính góc giữa  và 

Để xác định góc giữa hai đường thẳng  và  ta sử dụng cách 1, tìm đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng ,  và cắt đường thẳng còn lại.

Ta dễ nhận thấy .

Khi đó  .

Xét  có  suy ra . Vậy .

b) Tính góc giữa  và 

Tương tự,   .

Xét  có  suy ra . Vậy .

c) Tính góc giữa  và 

Gọi  là tâm của hình chữ nhật ,  là trung điểm của .

Trong  có  suy ra  .

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông  có:

 .

Ta có  là hình chữ nhật nên  suy ra

.

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông  có: 

 .

Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho  ta được:

 .

Suy ra .Vậy .

Ví dụ 2.2: Cho tứ diện , gọi ,  là trung điểm của , . Biết , . Tính góc giữa hai đường thẳng  và .

Lời giải:

Bài tập hai đường thẳng vuông góc Toán 11

Cách 1:

Do  và  là hai cạnh đối của tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc giữa hai đường thẳng  và  ta tạo các đường thẳng tương ứng song song với ,  và chúng cắt nhau.

Gọi  là trung điểm của , khi đó , 

Do ,  là các đường trung bình nên ta có . Áp dụng định lý hàm số cosin trong  ta được: 

Suy ra  . Vậy .

Nhận xét: Ngoài việc tạo ra điểm  như trên ta cũng có thể lấy điểm  là trung điểm của , cách giải khí đó cũng tương tự.

Cách 2:

Ta có: .

.

.

.

Ví dụ 2.3: Cho hình chóp  có đáy là hình thang vuông tại  và , , ,  vuông góc với  và , . Tính góc của 2 đường thẳng:

    a)  và .    b) và .

Lời giải:

Bài tập hai đường thẳng vuông góc Toán 11

    a) Do  

Tam giác  vuông tại  nên  là góc nhọn, khi đó  suy ra .

Vậy góc giữa hai đường thẳng  và  bằng .

Gọi  là trung điểm của , khi đó . Tứ giác  là hình hình hành (do ), có  nên là hình thoi. Lại có góc ,  vuông nên  là hình vuông cạnh  suy ra .

Mặt khác, tứ giác  là hình hình hành (do cặp cạnh  và  song song và bằng nhau) nên . Khi đó, .

Tam giác  vuông tại  nên .

Tam giác  vuông tại  nên .

Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác  ta được  

Do  nên góc  là góc nhọn suy ra .

Dạng 3. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

A. Phương pháp

Để chứng  ta có thể thực hiện theo các cách sau:

Chứng minh , trong đó  lần lượt là các vecto chỉ phương của  và .

Sử dụng tính chất .

Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa  và tính trực tiếp góc đó.

B. Bài tập ví dụ    

Ví dụ 3.1: Cho tứ diện  trong đó . Gọi  và lần lượt là trung điểm của  và .

    a) Chứng minh rằng  vuông góc với cả hai đường thẳng  và .

    b) Tính độ dài .

Lời giải:

Bài tập hai đường thẳng vuông góc Toán 11


a) Từ giả thiết dễ dàng suy ra tam giác  đều,  vuông cân tại .

Từ đó  vuông cân tại .

Chứng minh  vuông góc với 

Do các  vuông cân tại  nên

.

Chứng minh  vuông góc với 

Do các  đều nên .

b) Áp dụng định lí Pitago cho  vuông tại  ta được:

.

Vậy .

Ví dụ 3.2: Cho hình chóp tam giác  có  và . Chứng minh rằng .

Lời giải:

Chứng minh 

Xét .

Mà 

Chứng minh tương tự ta cũng được .

Ví dụ 3.3: Cho tứ diện đều , cạnh bằng . Gọi  là tâm đường tròn ngoại tiếp .

a) Chứng minh  vuông góc với .

b) Gọi  là trung điểm của . Tính góc giữa:

    +  và .

    +  và .

Lời giải:

Bài tập hai đường thẳng vuông góc Toán 11


a) Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng.

Gọi  là trung điểm của . Ta có:

.

Do  là tứ diện đều nên  và 

là tâm đáy (hay  là giao điểm của ba đường cao).

Khi đó:

.

b) Xác định góc giữa  và ;  và 

Xác định góc giữa  và :

Gọi  là trung điểm của .

Từ đó:

.

Áp dụng định lí hàm số cosin trong  ta được:

         (1)

Các  đều, có cạnh  nên .

 là đường trung bình nên .

Từ đó 

.

Xác định góc giữa  và :

Gọi  là trung điểm của .

Khi dó .

Các tam giác  là các tam giác đều cạnh , nên các trung tuyến tương ứng .

Do đó, .

Vậy .

Ví dụ 3.4: Cho hình lập phương  cạnh . Đặt .

    a) Tính góc giữa các đường thẳng .

    b) Gọi  là tâm của hình vuông  và  là một điểm sao cho . Tính khoảng cách từ  đến  theo .

    c) Phân tích hai véc tơ  theo ba véc tơ . Từ đó, chứng tỏ rằng  và  vuông góc với nhau.

    d) Trên cạnh  và  lấy hai điểm tương ứng  sao cho  (với ).

Chứng minh rằng  vuông góc với .

Lời giải:

Nhận xét:

Để làm tốt các bài toán liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ một số tính chất cơ bản của hình lập phương:

Tất cả các đường chéo ở các mặt của hình lập phương đều bằng nhau và bằng  (nếu hình lập phương cạnh ).

Các đoạn thẳng tạo bởi các kích thước của hình lập phương luôn vuông góc với nhau (dài, rộng, cao).

Bài tập hai đường thẳng vuông góc Toán 11

a)
Tính góc giữa: .

+ Tính :

Do .

+ Tính :

Do  .

 là hình vuông nên  là tam giác vuông cân tại .

.

Tính :

Do .

Xét trong tam giác  có  (do đều là các đường chéo ở mặt hình vuông của hình lập phương).

Do đó  đều .

b) Tính độ dài  theo .

    Vơi  là tâm của hình vuông  thì .

    Khi đó .

    Gọi  là tâm của đáy , theo quy tắc trung tuyến ta có:  

.

    Khoảng cách từ  đến  chính là độ dài véc tơ , từ đó ta được .

c) Phân tích hai véc tơ  theo ba véc tơ .

    Theo tính chất của hình lập phương ta dễ dàng có: .

Phân tích: .

Chứng minh  vuông góc với :

Xét .

.

d) Chứng minh rằng :

    Ta có phân tích 

Mà .

Thuộc website harveymomstudy.com

Xem thêm:  Chất làm mất màu dung dịch thuốc tím ở điều kiện thường là

Related Posts